Найти интегралы! См.внутри

сначала обозначения:
intehral - значок интеграла
^ - возведение в степень
sqrt - извлечение корня
* - умножить
C - произвольная постоянная

а) необходимо 1/x закинуть под дифференциал, получится интеграл от sqrt(1+lnx) по d(lnx). Далее замена переменных lnx=t. Под дифференциалом можно написать t+1 и сделать замену z=t+1. В итоге интеграл приобретет вид: intehral((z^(1/2))dz)=(2/3)*z^(3/2)+C=(2/3)*(t+1)^(3/2)+C= (2/3)*(lnx+1)^(3/2)+C. Это ответ.

б) заносим sin5x под дифференциал: sin5xdx=-1/5dcos5x. Далее замена переменной cos5x=t. Получим интеграл следующего вида: -1/5*intehral(sqrt(2-3t)dt)=1/15*intehral(sqrt(2-3t)d(2-3t))=2/45*(2-3t)^(3/2)+C= 2/45*(2-3cos5x)^(3/2)+C. Это ответ.

в) здесь я просто скажу идею. Необходимо так преобразовать подынтегральное выражение (может быть домножить и поделить на какое-то выражение) , чтобы получилось что-то, что при внесении под дифференциал даст дифференциал функции arctg2x. Далее стандартный прием замены переменной arctg2x=t.

г) здесь я приведу просто алгоритм действий. Необходимо поделить числитель на знаменатель в столбик. Получится два слагаемых: одно целое (без знаменателя, должна быть первая степень х с коэффициентом) , другой дробное (остаток от деления, степень числителя будет меньше второй степени знаменателя) . Далее разбиваем интеграл на два. Интеграл от целого выражения, уверен, вы без труда найдете. В знаменателе подынтегрального выражения второго интеграла необходимо выделить полный квадрат: (x+2)^2-1=(x+1)(x+3). Далее разделить на простые дроби (например методом неопределенных коэффициентов) . В итоге к ответу добавится еще сумма натуральных логарифмов.
Общий вид ответа: A*x^2+B*ln(x+1)+C1*ln(x+3)+C.
A,B,C1 - некоторые числовые коэффициенты.
Примечание: выражения в логарифмах должны стоять под модулем.