Помогите решить |x| > |X+1| и обязательно поясните как его делать. Как модуль раскрыть?

Первое неравенство вообще-то решается совсем просто, т. к. обе величины неотрицательны, то смело можно возводить в квадрат и получим:
x^2>x^2+2x+1 <=> x<-0,5

Что касается неравенства |X - 2| => 10, то опять обе части неотрицательны, возводим в квадрат:
x^2-4x+4-100=>0 <=> x^2-4x-96=>0
Осталось решить квадратное неравенство.. .
Но можно и не возводить в квадрат, чтобы избежать громоздких вычислений^
Тогда |X - 2| => 10 равносильно объединению решений неравенств x-2=>10 и x-2<=-10
Получим: x=>12 или x=< -8
Ответ: (-00; -8] U [12; +00)
(00 - так я обозначаю бесконечность)

Модули надо раскрывать, оценивая выражение под модулем. Если a >= 0, то |a| = a. Если a < 0, то |a| = -a.
1) |x| > |x + 1|
Делим числовую прямую на интервалы (-oo, -1), [-1, 0), [0, +oo)
а) x E (-oo, -1), |x + 1| = -x -1, |x| = -x
-x > -x -1
0 > -1
При любом х, принадлежащем интервалу.
x E (-oo, -1)
б) x E [-1, 0), |x + 1| = x + 1, |x| = -x
-x > x + 1
2x < -1
x < -1/2
x E [-1, -1/2)
в) x E [0, +oo), |x + 1| = x + 1, |x| = x
x > x + 1
0 > 1
Решений нет
Общее решение: x E (-oo, -1) U [-1, -1/2) = (-oo, -1/2)
Ответ: x E (-oo, -1/2)
Евгений Федоров получил тоже правильный ответ, но это частный случай, а я расписал, как это решается в общем случае.

2) |x - 2| >= 10
а) x E (-oo, 2), |x - 2| = 2 - x
2 - x >= 10
x <= -8
x E (-oo, -8]
б) x E (2, +oo), |x - 2| = x - 2
x - 2 >= 10
x >= 12
x E [12, +oo)
Ответ: x E (-oo, -8] U [12, +oo)

А чего это у тебя в школе этого не было? Это программа, кажется, 5 или 6 класса. Или ты тогда проболел полгода?

Так

|x - 2| ≥ 10 <=> x - 2 ≥ 10 или x - 2 ≤ -10
|x| > |x + 1| <=> x² > (x + 1)² <=> 2x +1 < 0