Сможете доказать что прямая 5x-3y+2z-5=0, 2x-y-2-1=0 лежит в плоскости 4x-3y+7z-7=0 если да выложите подробное решение!

Прямая задана как линия пересечения плоскостей:
{5x - 3y + 2z - 5 = 0
{2x - y - 2z - 1 = 0
Найдём эту прямую. За направляющий вектор прямой возьмём векторное произведение нормалей плоскостей.
А точку ∈ прямой находим из системы, приравняв одну из переменных к нулю.

Находим точку ∈ прямой:
n₁ = (5; -3; 2)
n₂ = (2; -1; -2)
[n₁, n₂] =
|i....j...k|
|5 -3..2|
|2 -1 -2|
6i - 5k + 4j + 6k + 2i + 10j = 8i + 14j + k = (8; 14; 1)

Находим направляющий вектор прямой:
Пусть z = 0, тогда:
{5x - 3y = 5
{2x - y = 1
Решим методом Крамера:
|5 -3|
|2 -1|
Δ = -5 + 6 = 1

|5 -3|
|1 -1|
Δ₁ = -5 + 3 = -2

|5 5|
|2 1|
Δ₂ = 5 - 10 = -5

x = Δ₁/Δ = -2/1 = -2
y = Δ₂/Δ = -5/1 = -5

Точка с координатам (-2; -5; 0) ∈ прямой

Тогда параметрическое уравнение прямой:
{x = -2 + 8t
{y = -5 + 14t
{z = t

Теперь можно выяснить расположения прямой и плоскости.
Для этого в уравнение плоскости вместо x, y, z подставим параметрические уравнения:
5(-2 + 8t) - 3(-5 + 14t) + 2t - 5 = 0
Решим это уравнение:
-10 + 40t + 15 - 42t + 2t - 5 = 0
-2t + 2t = 5 - 15 + 10
0 = 0 ⇒ прямая лежит в плоскости.