Как правильно? "Куча дел навалилАсь (навалилОсь) и почему?

На самом деле все немного иначе:

Куча дел навалилась. - Куча - существительное женского рода, выступает в качестве подлежащего, согласуется со сказуемым в роде и числе. Поэтому "навалилась".

Много народу набежало. - Много народу - подлежащее, набежало - сказуемое. Они согласуются.

Дел навалилось. Дел навалилось куча. - В этих предложениях нет подлежащего. Это так называемые безличные предложения, в них нет согласования, т. к. не указано лицо, производящее действие.

Правильно.
1-Куча дел навалилась.
2-Дел навалилось.
3-Много народу набежало.
4-Дел навалилась куча.

1и 4 одинаковые, так как здесь можно поставить вопрос КУЧА чего? дел... значит куча дел или дел куча одно и то же, а следовательно и глагол для них будет одинаков.

2-Дел навалилось. Тут просто слово дела во множеств. числе и что навалилось? Навалилось
дел или дел навалилось.
3-Много кого или чего? Много народу. Много народу сделало что? Набежало.
В русском языке очень помогает знать вопросы для каждого существительного. Или числительного или местоимения.

Тема: Согласование в числе сказуемого с подлежащим.
1.Если подлежащее - собирательное сущ. (множество, большинство, часть, толпа, КУЧА, ряд, десяток, сотня, масса...), обозначающее кол-во +сущ. Р.. п., то сказуемое в ед. ч.
КУЧА (ж. р. ) ДЕЛ навалилАсь, дел навалилАсь куча
(МНОЖЕСТВО) дел навалилОсь
2.Если подлежащее - слова НЕСКОЛЬКО, СКОЛЬКО, СТОЛЬКО, МНОГО, МАЛО, НЕМНОГО, НЕМАЛО +сущ. Р. п., то сказ. в ед. ч. и во мн. ч.
НЕСКОЛЬКО КНИГ (неодуш.) лежалО, НЕСКОЛЬКО ЧЕЛОВЕК (одуш) былИ
МНОГО НАРОДУ набежалО...