Исправьте стилистические ошибки.

1. Анализируя лексику поэмы, нужно отметить, что автор вместо литературной часто употребляет разговорную речь, ничуть не умАляя художественную правду.
"И то,..." -- синтаксический плеоназм или лексическое излишество.
"Многочисленные разговорные обороты речи, которые поэт, не скупясь, использует вместо книжных слов" -- речевое излишество, из-за которого теряется смысл предложения, так как, к примеру, непонятно, кто автор и кто поэт. Кстати, два слова "поэт" и однокоренное слово "поэма" в одном предложении -- тавтология.
"Напротив усиливая" -- речевое излишество.
"УмОлять" (просить) вместо "умАлять" (принижать) -- неправильное употребление омофона.

2. Революционные демократы печатают в сборнике статьи о важных проблемах воспитания.
В оригинальном предложении от неправильного порядка слов и речевых излишеств теряется лексическая логика.

3. Историческая основа многих былин киевского цикла подтверждается сравнительным изучением эпических сказов и произведений древнерусской письменности.
"Историческая... исторических" -- тавтология.
"Путём" -- канцеляризм.
"Народных сказов" -- семантический плеоназм или речевое излишество, при котором для ненужного пояснения употребляется близкое по смыслу слово. В данном случае -- "народных", ведь "сказ" -- жанр народного творчества.
"С другой стороны" -- речевое излишество.

Я не лингвист, но вот, что видится простому читателю:

1)Анализируя лексику поэмы, нужно отметить и то, что автор употребляет многочисленные разговорные обороты речи, которые поэт, не скупясь, использует вместо книжных слов, ничуть не ослабляя, а, напротив, усиливая художественную правду поэта.

Во-первых, умолять -- сильно просить, а умалять -- принижать. Но "принижать" не антоним "усиливать", поэтому я заменил бы "умаляя".

2)В сборнике печатаются важнейшие статьи революционных демократов, в которых авторы разбирают проблемы воспитания.

Непонятно, кто кого разбирает

3)Историческая основа многих былин киевского цикла подтверждается путем сравнительного изучения народных эпических сказов и-с другой стороны-произведениями древнерусской письменности.

Вот-первых, некрасивое повторение "исторический", во-вторых, "исторических былин" -- тавтология. Ясно, что былины сейчас не пишут, и ясно, что такое былина.