Доказать, что предела функции не существует lim(x->0)(3^(1/x))

Воспользуйтесь теоремой об единственности ПРЕДЕЛА- это распространнный способ доказательства таких задач
Надергайте две подпоследовательности
{xn}=1/n->0
тогда lim (3)^ (1/n)= + беск
{xn}=-1/n->0
lim (3^(-1/n))=0 вывод сделаете САМИ

При стремлении х к 0 слева получается предел 0, а справа - бесконечность.

Пример 3.5. Дана функция f(x)=2^(1/x). Доказать, что предел lim f(x) при x->0 не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { Xn }, сходящуюся к 0, т. е. Покажем, что величина f(Xn)=2^(1/Xn) для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть Xn = 1/n. Очевидно, что, lim 1/n = 0 при n ->∞ тогда lim2^(1/Xn)=lim2^n=+∞ Выберем теперь в качестве xn последовательность с общим членом xn = -1/n, также стремящуюся к нулю. lim2^(1/Xn)=lim2^(-n)=lim1/2^n=0. Получили разные пределы при разных Xn, стремящихся к одному значению. Поэтому по теореме о единственности предела предел не существует.

Пример 3.6. Доказать, что предел lim sin(x) при x-> ∞ не существует.

Решение. Пусть x1, x2,...xn,...-последовательность, для которой lim Xn = ∞ при n->∞
. Как ведет себя последовательность {f(xn)} = {sin xn } при различных xn→ ∞
(Прим.: "p" читается как "пи")
Если xn= pn, то sin xn= sin pn = 0 при всех n и lim sin(Xn)=0 при n->∞ Если же
xn=2pn+p/2, то sin xn= sin(2pn+p/2) = sin p/2 = 1 для всех n и следовательно lim sin(Xn)=1 при n->∞. Таким образом, lim sin(x) при x ->∞ не существует.