Можно ли забрать 13% от суммы за обучение в институте спустя 10 лет как закончил? Если да что нужно делать?

Сильно сомневаюсь, что получить социальный вычет на обучение через 10 лет получится.
И вот почему.
Вычет - это не абстракция и не субсидия от государства. Он связан с вполне конкретным налогом - налогом на доходы физических лиц (подоходным). Значит, чтобы им воспользоваться, нужно быть плательщиком этого налога, например, работать с официальным заработком. Причём происходить это должно было тогда, когда Вы учились и производили оплату за обучение: ведь социальные вычеты можно применять только к тем годам, когда они фактически произведены (это имущественный можно переносить, но не этот).

"Работает" налоговый вычет так:
Вы работаете и получаете зарплату. С этой зарплаты (дохода) удерживают и перечисляют в бюджет налог - 13 % от суммы заработка.
При использовании вычета Вы этот доход, с которого налог посчитан первоначально уменьшаете (в прямом смысле слова ВЫЧИТАЕТЕ РАСХОДЫ НА ОБУЧЕНИЕ). Получаете, что налога нужно было заплатить меньше. Вот эта разница между налогом со всего дохода и налогом с дохода за минусом расходов на обучение и возвращается.
Т. е. применение вычета снижает доход, с которого платится налог, и получается ПЕРЕПЛАТА по налогу. Это её возвращают.

Да, сроков давности у налогового вычета в прямую нет (т. е. нигде в главе 23 Налогового Кодекса о подоходном налоге этого прямо не написано). Зато есть общие правила возврата переплат по налогам (любым) - статья 78.
Вот в ней чёрным по белому написано: заявление о возврате переплаты по налогам может быть подано в течение трёх лет с момента уплаты соответствующей суммы налога. Так что трехлетний срок не налоговики на месте придумали.
Подоходный налог уплачивается ежегодно. Даже если Вы платили его в тот период, когда учились и платили за учебу, с "момента уплаты" прошло уже 10 лет - явно больше трех.
Следовательно, от налоговой инспекции Вы получите отказ.
Вот с ним уже можно будет идти в суд и доказывать, что "с момента как Вы узнали о наличии переплаты" прошло меньше 3-х лет и поэтому вернуть налог можно. Но шансы, что суд с Вами согласится невелики.

Прийти в налоговую инспекцию своего района и выяснить - это называется НАЛОГОВЫЕ ВЫЧЕТЫ

В законе нет срока давности налогового вычета, но налоговые инс-ции стараются ограничить 3 годами, с этим можно бороться через суд.

Почему вам должны отдать эту сумму?