почему мы можем в пространстве отложить от одного вектора ортогональный ему?

Потому что в пространстве V по определению ЛП имеется нулевой вектор, который в силу билинейности скалярного произведения ортогонален любому.

А процесс Грама-Шмидта вам помог бы только в случае dim(V) > 1.
Заметьте, я не накладываю ограничения снизу на размерность пространства.

PS. Но вы ответ Ангелины зря отправили в помойку - все же, наверное, преподаватель вас хотел о процессе Грама-Шмидта спросить. Нулевой вектор в качестве примера рассматривать скучно как-то....

Два вектора u
u
и v
v
евклидова пространства называются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю: ⟨u,v⟩
⟨u,v⟩
.

Система векторов v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т. е. ⟨ui,vj⟩=0
⟨ui,vj⟩=0
при i≠j
i≠j
. Система векторов v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
называется ортонормированной, если все ее векторы попарно Ортогональны и длина (норма) каждого вектора системы равна единице, т. е.

⟨ui,vj⟩={1,0,i=j,i≠j.
⟨ui,vj⟩={1,i=j,0,i≠j.

Говорят, что вектор v
v
ортогонален (перпендикулярен) множеству M
M
, если он ортогонален каждому вектору из M
M
. Ортогональность векторов обозначается знаком перпендикуляра (⊥)
(⊥)
.

Свойства ортогональных векторов

1. Нулевой вектор ортогонален каждому вектору пространства.

2. Взаимно ортогональные ненулевые векторы линейно независимы.

В самом деле, пусть векторы v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
попарно ортогональны. Составим из них линейную комбинацию и приравняем ее нулевому вектору:

λ1⋅v1+λ2v2+…+λkvk=o.
λ1⋅v1+λ2v2+…+λkvk=o.

Умножим обе части равенства скалярно на вектор v1:
v1:

λ1⟨v1,v1⟩+λ2⟨v1,v2⟩0+…+λk⟨v1,vk⟩0=⟨v1,o⟩0.
λ1⟨v1,v1⟩+λ2⟨v1,v2⟩⏟0+…+λk⟨v1,vk⟩⏟0=⟨v1,o⟩⏟0.

Следовательно, λ1⋅|v1|2=0
λ1⋅|v1|2=0
. Так как v1≠o
v1≠o
, то λ1=o
λ1=o
. Аналогично доказываем, что λ2=…=λk=0
λ2=…=λk=0
, т. е рассматриваемая линейная комбинация тривиальная. Значит, ортогональная система векторов v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
линейно независима.

3. Если сумма взаимно ортогональных векторов равна нулевому вектору, то каждое из слагаемых равно нулевому вектору.

4. Если вектор u
u
ортогонален каждому вектору системы v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
, то он также ортогонален и любой их линейной комбинации. Другими словами, если u⊥vi, i=1,…,k
u⊥vi, i=1,…,k
, то u⊥Lin(v1,…,vk)
u⊥Lin⁡(v1,…,vk)
.

5. Если вектор u
u
ортогонален подмножеству M
M
евклидова пространства, то он ортогонален и линейной оболочке этого подмножества, т. e. u⊥M ⇒ u⊥Lin(M)
u⊥M ⇒ u⊥Lin⁡(M)
.

6. Если v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
— ортогональная система векторов, то

|v1+v2+…+vk|2=|v1|2+|v2|2+…+|vk|2.
|v1+v2+…+vk|2=|v1|2+|v2|2+…+|vk|2.

Это утверждение является обобщением теоремы Пифагора.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Рассмотрим следующую задачу. Дана линейно независимая система v1,v2,…,vk
v1,v2,…,vk
векторов конечномерного евклидова пространства. Требуется построить ортогональную систему w1,w2,…,wk
w1,w2,…,wk
векторов того же пространства так, чтобы совпадали линейные оболочки:

Lin(v1,v2,…,vk)=Lin(w1,w2,…,wk).
Lin⁡(v1,v2,…,vk)=Lin⁡(w1,w2,…,wk).

Решение задачи находится при помощи процесса ортогонализации Грама–Шмидта, выполняемого за k
k
шагов.

1. Положить w1=v1
w1=v1
.

2. Найти w2=v2−α21⋅w1
w2=v2−α21⋅w1
, где α21=⟨v2,w1⟩⟨w1,w1⟩
α21=⟨v2,w1⟩⟨w1,w1⟩
.

3. Найти w3=v3−α31w1−α32w2
w3=v3−α31w1−α32w2
, где α31=⟨v3,w1⟩⟨w1,w1⟩, α32=⟨v3,w2⟩⟨w2,w2⟩
α31=⟨v3,w1⟩⟨w1,w1⟩, α32=⟨v3,w2⟩⟨w2,w2⟩
; и т. д.

4. Найти wk=vk−∑i=1k−1αkiwi
wk=vk−∑i=1k−1αkiwi
, где αki=⟨vk,wi⟩⟨wi,wi⟩, i=1,…,k−1
αki=⟨vk,wi⟩⟨wi,wi⟩, i=1,…,k−1
.

Поясним процесс ортогонализации. Искомый на втором шаге вектор w2
w2
представлен в виде линейной комбинации w2=v2−αw1
w2=v2−αw1
. Коэффициент α
α
подберем так, чтобы обеспечить ортогональность векторов w2
w2
и w1
w1
. Приравняем нулю скалярное произведение этих векторов ⟨w2,w1⟩=⟨v2,w1⟩−α⟨w1,w1⟩=0
⟨w2,w1⟩=⟨v2,w1⟩−α⟨w1,w1⟩=0
. Отсюда получаем, что α=α21
α=α21
(см. пункт 2 алгоритма). Подбор коэффициентов αji
αji
на j-м шаге алгоритма делается так, чтобы искомый вектор wj
wj
был ортогонален всем ранее найденным векторам w1,w2,…,wj−1
w1,w2,…,wj−1
.

Замечания 8.11

1. Векторы, найденные в процессе ортогонализации, обладают следующими свойствами:

а) wj⊥Lin(w1,w2,…,wj−1),j=2,…,k
wj⊥Lin⁡(w1,w2,…,wj−1),j=2,…,k
;

б) Lin(w1)=Lin(v1),Li