Найти размеры кругового цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, вписанного в шар радиуса R

Пусть радиус цииндра r, высота h, тогда его площадь боковой поверхнеости:
S = 2π·r·h
Поскольку цилиндр вписан в шар, то его размеры связаны с радиусом шара R (см. рис.):
(тут надо нарисовать картинку в виде сечения шара и цилиндра, т. е. окружность, внутри которой симметричный прямоугольник, расставить там все размеры - мне просто не на чем рисовать)
(2R)^2 = (2r)^2 + h^2
4R^2 = 4r^2 + h^2
h = 2·sqr(R^2 - r^2)
S = 2π·r·2·sqr(R^2 - r^2) = 4π·r·sqr(R^2 - r^2)
Для отыскания неизвестного, воспользуемся богомерзкой черной магией! - т. е. продифференцируем:
dS / dr = 4π·[sqr(R^2 - r^2) + r·1 /(2·sqr(R^2 - r^2))·(-2r)] =
= 4π·[sqr(R^2 - r^2) - r^2 / sqr(R^2 - r^2)]
Для отыскания критических точек, приравняем полученное выражение нулю:
4π·[sqr(R^2 - r^2) - r^2 / sqr(R^2 - r^2)] = 0
sqr(R^2 - r^2) - r^2 / sqr(R^2 - r^2)=0
умножим выражение на sqr(R^2 - r^2) (это возможно если sqr(R^2 - r^2) !=0, а равенство возможно тлько при r=R, но тогда цилиндр вырождается в прямую - теряется физический смысл задачи):
R^2 - r^2 - r^2 =0
R^2 = 2·r^2
r^2 = R^2 / 2
r = R / sqr(2)
Ну, и тогда площадь эта будет равна:
S = 4π·R / sqr(2)·sqr(R^2 - R^2 / 2) = 4π·R^2 / sqr(2)
NB: ну и ради сравнения, площадь поверхности шара 4π·R^2, а боковой поверхности вписанного цилиндра в 1 / sqr(2) разов меньше, т. е. примерно 0,707 это площади шара.

S(d)=π*d*h=π*d*√(D²-d²)
D - диаметр шара; d - диаметр основания цилиндра; h - высота цилиндра.
Исследуй эту функцию на экстремум.
Ответ: d=D/√2; h=√(D²-d²)=D/√2=d.
Цилиндр будет иметь максимальную боковую поверхность, если его осевое сечение - квадрат.