В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наибольшей площадью. Определить его основание Х и высоту У

Алгоритм решения:

1. Выразить высоту через основание прямоугольника.
2. Подставить значение в формулу площади.
3. Взять производную от функции площади.
4. Приравнять производную нулю и найти основание. Затем найти высоту.

бОльшая сторона прямоугольника будет чуть чуть длиннее короткой стороны

Располагаем начало координат в центре окружности (в середине диаметра, ограничивающего полуокружность) .
Координаты вершин прямоугольника: (-х, 0), (х, 0), (х, у) , (-х, у) .
Длины сторон прямоугольника 2*х и у.
Так как вершина (х, у) на полуокружности, то x^2 + y^2 = R^2, откуда y = V(R^2 - x^2) (V - квадратный корень) .
Площадь прямоугольника S = 2*x*y.
y = V(R^2 - x^2) (V - квадратный корень) .
S(x) = 2*x*V(R^2 - x^2).
Для нахождения мкасимальной площади находим х, при котором производная S'(x) = 0.
S'(x) = 2*V(R^2 - x^2) + (1/2)*2*x*(-2*x)/V(R^2 - x^2) = 2*V(R^2 - x^2) - 2*x^2/V(R^2 - x^2) = 2*(R^2 - x^2 - x^2)/V(R^2 - x^2) =
2*(R^2 - 2*x^2)/V(R^2 - x^2) = 0.
R^2 = 2*x^2
x = R/V(2).
Для найденного значения х площадь S(x) доститгает максимума, так как при х < R/V(2) S'(x) > 0, значит функция S(x) возрастает,
при х > R/V(2) S'(x) < 0, значит функция S(x) убывает.
y = V(R^2 - R^2/2) = R/V(2).
Ответ: стороны прямоугольника x = 2*R/V(2), y = R/V(2).