В окружность вписан правильный шестиугольник. В ту же окружность вписан правильный девятиугольник А1А2....А9 с диагональ

Решение
1)В правильном девятиугольнике рассмотрим тр-к ОА1А4. где А1А4 =12, ОА1=ОА4 =R, и угол А1ОА4 =120 так как дуга
А1А2А3А4 составляет третью часть окружности
Тогда в этом тр-ке угол ОА4А1= (180-120) /2 =30 и по теореме синусов
ОА1/ sin30 =12/sin120 или ОА1 =12/ √3 = 4√3 =R
2) перейдём на правильный шестиугольник. Рассмотрим в этом шестиугольнике тр-к ОАВ, где О-центр окружности
А и В две соседние вершины этого шестиугольника . Тогда ОА=ОВ =4√3 угол АОВ =60 градусов и этот тр=к равносторонний и все углы по 60 градусов
Проведём к АВ перпендикуляр ОК это и будет радиус вписанной окружности ОК =r
Из тр-ка АОК находим ОК = АО*sin60= 4√3*√3/2 = 6см
Ответ ОК =r =6см

R - радиус описанной окружности около 6-угольника
r - радиус вписанной окружности в 6-угольник
Рассмотрим 9-угольник:
если соединить вершины А1А4, А4А7, А7А1, то получится равносторонний треугольник А1А4А7, следовательно его стороны будут равны А1А4 = 12 по условию, а углы равны 60*
Соединим центр окружности с вершиной А1 и центром стороны А1А4, получится прямоугольный треугольник с углами 30*,60*,90*
расстояние от центра окружности до середины стороны А1А4 равно 1/2R, так как лежит против угла в 30*
Расстояние от центра окружности до вершины 9-угольника находим по теореме Пифагора
ОА1^2 = (12/2)^2 + ((ОА1/2)/2)^2
R^2 = 36+(R^2)/4
3/4*R^2=36
R^2=48
R=4 корня из 3
В шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, следовательно
а=R=4 корня из 3
r=(а корней из 3)/2
r=4 корня из 3 * корень из 3 : 2 = 6
Ответ: радиус окружности, вписанной в шестиугольник равен 6