Помогите решить задачу.

Введем оси координат так, чтобы вершина угла совпала с началом координат, а стороны угла совпали с положительными полуосями X и Y. Тогда у одного шара есть только координат x (y=0), у второго шара есть только координата y (x=0). Если потенциальная энергия зависит только от расстояния между шарами U = U(r), тогда уравнения движения имеют вид:
m x'' = - Ux
m y'' = - Uy
Учтем, что U = U(r):
Ux = U' y / r
Uy = U' y / r
Тогда уравнения движения:
m x'' = - [U' / r] x
m y'' = - [U' / r] y
Разделим одно уравнение на другое:
x'' / y'' = x / y
Или:
y x'' = x y ''
К обеим частям равенства прибавим x' y':
x' y' + x'' y = x' y' + x y''
С обеих сторон равенства замечаем производные от произведения функций:
(x' y)' = (x y')'
Переносим все в одну сторону:
(x' y)' - (x y')' = 0
Сумма производных равна производной суммы:
(x' y - x y')' = 0
Если производная по времени от величины равна нулю, значит величина константа (ну или считайте, что мы проинтегрировали равенство по времени):
x' y - x y' = Const
Нашли интеграл движения (то есть эта величина имеет одинаковое значение во время всего движения). Можем посчитать ее в начальный момент времени. Т. к. шарики начинают движение из состояния покоя, при t = 0 известно: x' = y' = 0. Тогда:
x' y - x y' = 0
Представляем производные как отношения приращений:
(dx/dt) y - x (dy/dt) = 0
Делим все равенство на (x y / dt):
(dx / x) - (dy / y) = 0
Переносим одно слагаемое в другую сторону равенства и интегрируем:
ln(x) = ln(y) + Const
Избавляемся от логарифмов:
x = y + Const
Получаем окончательно (подставив начальные условия):
y - x = y(0) - x(0)
Получили, что координаты частиц удовлетворяют равнению прямой, проходящей через центр координат. Значит, если потенциал U(r) описывает силу притяжения, то частицы неизбежно должны пройти x = 0 и y = 0 одновременно.