Применение метода стрельбы на практике

Притворимся, что мы не можем решить аналитически.
1)
Можно искать решение в виде:
y = z + F
(переходим к уравнению для z, а F выберем так, чтобы решать стало поудобнее)
Подставим это в уравнение, получим:
(z + F)'' - (z + F) = x
Раскроем скобки, перегруппируем:
(z'' - z) + (F'' - F - x) = 0
Потребуем, чтобы вторая скобка равнялась нулю. То есть F - любое решение исходного уравнения:
F'' - F = x
Тогда для z получим однородное уравнение:
z'' - z = 0
2)
Предположим, что мы нашли два решения уравнения:
z1(x), z2(x)
Т. к. уравнение линейное, то линейная комбинация решений - тоже решение.
Сконструируем решение в виде ленейной комбинации:
z(x) = A z1(x) + B z2(x)
Решение должно содержать две константы интегрирования. Если функции z1, z2 - линейное-независимы, то A и B играют роль этих констант, и мы получили общее решение однородного уравнения.
Общее решение исходного уравнения запишется в виде:
y(z) = A z1(x) + B z2(x) + F(x)
3) Для метода стрельбы вам понадобится найти любое решение уравнения:
F'' - F = x
Раз любое, то дополним его наиболее простыми условиями:
F(0) = 0, F'(0) = 0
Дальше вам нужно найти два независимых решения однородного уравнения. Для это нужно дважды решить однородное уравнение с разными независимыми начальными условиями, например, такими:
z1'' - z1 = 0, z1(0) = 1, z1'(0) = 0
z2'' - z2 = 0, z2(0) = 0, z2'(0) = 0
После решения этих трех задач Коши у вас в наличие будут три функции:
F(x), z1(x), z2(x)
От общего решения уравнения:
y = A z1 + B z2 + F
Требуете выполнения ваших краевых условий:
y(0) = A z1(0) + B z2(0) + F(0) = 0
y(1) = A z1(1) + B z2(1) + F(1) = e - 1/e - 1
Эти два равенства рассматриваете как систему уравнений относительно A, B. Она легко решается даже без компьютера, можете решить ее в общем виде, чтобы мочь потом подставить любые краевые условия.
Находите A, B, подставляете их значения в ваше общее решение, и выводите решение вашей краевой задачи.