ВУЗы и колледжи

Помогите вывести формулу для переходной характеристики RL цепи.

Нужно не просто записать (а я и так её знаю) формулу, а вывести её. То есть через дифференциальное уравнение и всё такое. Я его даже составить не могу. Потому что на индуктивности U=Ldi/dt. А на ёмкости I=Cdu/dt. И составляется уравнение дифференциальное неоднородное относительно u на конденсаторе. А на резисторе получается U1= RCdu/dt. А само уравнение 1=u+RCdu/dt. Оно решается и вот вам переходная характеристика. А для RL цепи как сделать? По аналогии с RC не получается, потому что на катушке напряжение ищется через производную по времени от тока, а не ток ищется через производную от напряжения, как на конденсаторе. И я не могу составить аналогичное уравнение. И что здесь надо делать, может надо решать относительно тока? Но мы же ищем напряжение на выходе, а не ток. Да даже если и будем находить ток, напряжение ведь не известно. Помогите пожалуйста.
МШ
Мадина Шераликызы
178
Напряжение на катушке UL = L*di/dt. По второму правилу Кирхгофа UL + UR = E. Отсюда уравнение относительно тока:

L*di/dt + R*i = E. Делим обе части на L, получаем di/dt + i*(R/L) = E/L, где Е=1, при t≥0, начальное условие i(0)=0. Далее решаем задачу Коши. Сначала необходимо найти общее решение полученного неоднородного ДУ, например, методом вариации произвольной постоянной. Однородное решение i(t) = C(t)*exp((-R/L)*t). R/L=a для краткости, это коэффициент затухания. Подставляем найденное однородное решение в неоднородное ДУ и находим C(t):
C'(t)*exp(-a*t) - a*C(t)*exp(-a*t) + a*C(t)*exp(-a*t) = 1/L, после преобразования получаем:

C'(t)*exp(-a*t) = 1/L

dC(t) = (1/L)*exp(a*t)*dt

Интегрируем его:

C(t) = (1/(a*L))*exp(a*t) + C = (1/R)*exp(a*t) + C

Подставляем C(t) в найденное однородное решение: i(t) = 1/R + C*exp(-a*t). Теперь находим константу C из начального условия задачи Коши. Подставляем i(0) = 0. 0 = 1/R + C. Отсюда С = -1/R. Итого окончательное выражение для переходной характеристики по току:

i(t) = (1/R)*(1-exp(-a*t)) при t≥0, a=R/L

А если нашли ток, то и любое напряжение найти — не проблема. Напряжение на резисторе — ток, умножить на этот резистор, UR(t) = i(t)*R = (1-exp(-a*t)), при t≥0

А на катушке — это производная тока по времени, умноженная на индуктивность:

UL(t) = L*di(t)/dt = -L*(-(a/R)*exp(-a*t) = exp(-a*t), при t≥0.
EK
Elya Korsakova
11 087
Лучший ответ
Мадина Шераликызы Можно подробнее про метод вариации произвольной постоянной. А то я не помню уже из высшмата, как решать однородные ДУ.
Мадина Шераликызы А импульсная характеристика равна чему? Получается что -a*exp(-a*t). Так? Верно?

Похожие вопросы