Классический дипольный осциллятор

m - масса каждой из частиц
x1, x2 - координаты частиц
(пусть всегда x2 > x1)
q - заряд каждой из частиц
(пусть первая частицы заряжены разноименно)
Запишем выражение для энергии частиц:
E = (m / 2) (x1')² + (m / 2) (x2')² - q² / (x2 - x1) + U(x2 - x1)
Первые два слагаемых - кин энергии частиц. Третье - Кулоновское притяжение между частицами. Четвертое должно обеспечивать отталкивание. Перейдем к новым переменным:
x1 = R - r / 2
x2 = R + r / 2
R - координата центра масс
r - относителньое положение частиц
Энергия в этих переменных примет вид:
E = M (R')² + (m / 4) (r')² - q² / r + U(r)
Будем считать, что центр масс неподвижен, т. е:
R' = 0
Тогда энергия:
E = (m / 4) (r')² - q² / r + U(r)
Если теперь записать ЗСЭ:
dE / dt = 0
То мы можем сразу получить уравнение движения:
[(m / 2) r'' + q² / r² + U'(r)] r' = 0
Получаем два варианта:
r' = 0
(m / 2) r'' = - q² / r² - U'(r)
Первый реализуется, когда система просто покоится, это нам не интересно. Второй - это уравнение относительного движения частиц. Увидели, что оно содержится в ЗСЭ. Теперь предположим, что есть точка равновесия:
r = r0
такая, в которой система могла бы находиться в покое:
- q² / r0² - U'(r0) = 0
Будем считать, что система совершает малые колебания в окрестности точки равновесия. То есть:
r = r0 + x, |x| << r0
Тогда энергия примет вид:
E = (m / 4) (x')² - q² / (r0 + x) + U(r0 + x)
Теперь пренебрежем степенями x выше второй (пользуемся малость x):
E ≈ (m / 4) (x')² + A + B x + C x² / 2
где:
A = - q² / r0 + U(r0)
B = q² / r0² + U'(r0)
C = - 2 q² / r0³ + U''(r0)
Т. к. r0 - точка устойчивого равновесия:
B = 0, C > 0
Получили выражение для энергии, описывающее осциллятор:
E = (m / 4) (x')² + C x² / 2 + A
ЗСЭ уже будет содержать уравнение малых колебаний вблизи положения равновесия. А теперь добавим эффект от излучения, испортив ЗСЭ:
dE / dt = - z q² (x'')²
В Гауссовской системе единиц z = 2 / (3 c³). Теперь раскрываем производную по времени и получаем уравнение движения вблизи положения равновесия с учетом влияния дипольного излучения:
(m / 2) x' x'' + C x x' = - z q² (x'')²
Дальше все сводится к исследованию этого диф. уравнения.
Удачи с этим)