Контрольная по пределам,помогите решить все пожалуйста((

Всё ж просто, но выкладывать надо одно задание в одном вопросе.

1) Распространяем корень на всё выражение и пытаемся выделить кратную знаменателю часть:

 (2x² - 3x - 4)² = 4x⁴ - 12x³ - 7x² + 24x + 16

(2x² - 3x - 4)² / (x⁴ + 1) = 4 + (-12x³ - 7x² + 24x + 12) / (x⁴ + 1)

√((2x² - 3x - 4)² / (x⁴ + 1)) -> √4 = 2

(при x → ∞) 

(во втором слагаемом степень знаменателя выше степени числителя, поэтому оно стремится к нулю)

2) Раскладываем на множители:

 (1 - x³) = (1 - x)(1 + x + x²)



(1 - x³)/(1 - x) = (1 + x + x²) → 3

при x → 1 

3) Сокращаем на √x:

 (√x - 1) / (√x + 1) → -1 / 1 = -1

при x → 0 

4) Раскладываем синусы кратных углов:

 sin(5x) = 16 sin⁵ x - 20 sin³ x + 5 sin x

sin(2x) = 2 sin x cos x

sin(5x) / sin(2x) = (16 sin⁴ x - 20 sin² x + 5) / (2 cos x) → 

  → (0 - 0 + 5) / (-2) = -2.5

при x → π 

5) Заменим переменную:

 t = x - 3

t → ∞

(x + 1) / (x - 3) = (t + 4) / t = 1 + 4 / t

2x = 2(t + 3) = 2t + 6



((x + 1) / (x - 3))²ᵡ = (1 + 4/t)²ᵗ⁺⁶ = ((1 + 4/t)ᵗ/⁴)⁸ · (1 + 4/t)⁶ → e⁸ · 1 = e⁸ 

Второй множитель стремится к 1 при t → ∞, а предел первого вычисляется в соответствии с вторым замечательным пределом.

6) Сходу ничего не приходит в голову, разве что косинус в ряд разложить:

 cos√x = 1 - x/2 + x²/24 - x³/720 + ... 

И попробовать воспользоваться вторым замечательным пределом?

Остальное - аналогично

JND.