Найти общее решение системы ду.

Можно сделать замену:
x = u
y = v + 3
После подстановки этих x, y в систему получим систему отн-но u, v:
u' = 2 u - 4 v
v' = 5 u + 6 v
Решение этой системы можно искать в виде:
u = a exp(k t)
v = b exp(k t)
(вид решения предполагается именно такой, т. к. искомые функции и х производные должны в сумме давать 0, экспонента тут кстати). Подставляем u, v в таком виде в систему, получаем:
k a = 2 a - 4 b
k b = 5 a + 6 b
Причесываем, получаем красивую системку:
(2 - k) a - 4 b = 0
5 a + (6 - k) b = 0
Нетривиальные решения такой системы возможны, если определитель матрицы системы равен нулю. Т. е.:
(2 - k) (6 - k) - (- 4) 5 = 0,
или:
k² - 8 k + 32 = 0
получаем два значения k, при которых система имеет нетривиальные решения:
k = 4 + 4 i
k = 4 - 4 i
Для каждого значения k теперь решаем систему отн-но a, b.
При k = 4 + 4 i система примет вид:
(- 2 - 4 i) a - 4 b = 0
5 a + (2 - 4 i) b = 0
Решение:
a = 2 c1
b = (- 1 - 2 i) c1
При k = 4 - 4 i система примет вид:
(- 2 + 4 i) a - 4 b = 0
5 a + (2 + 4 i) b = 0
Решение:
a = 2 c2
b = (- 1 + 2 i) c2
Получаем два решения. Первое:
u = 2 exp([4 + i 4] t)
v = - (1 + 2 i) exp([4 + i 4] t)
Второе:
u = 2 exp([4 - i 4] t)
v = - (1 - 2 i) exp([4 - i 4] t)
Получаем общее решение исходной системы:
x = 2 c1 exp([4 + i 4] t) + 2 c2 exp([4 - i 4] t)
y = 3 - (1 + 2 i) c1 exp([4 + i 4] t) - (1 - 2 i) c2 exp([4 - i 4] t)
Подставляем t = 0:
x(0) = 2 c1 + 2 c2 = 0
y(0) = 3 - (1 + 2 i) c1 - (1 - 2 i) c2 = 0
Рассматриваем это как систему отн-но c1, c2, получаем:
c1 = 3 / (4 i)
c2 = - 3 / (4 i)
Получим частное решение:
x(t) = 3 exp(4 t) sin(4 t)
y(t) = 3 - exp(4 t) [(3 / 2) sin(4 t) + 3 cos(4 t)]
И лучше проделывайте все шаги сами. А то я тут без бумажки, срзу печатаю...Точно где-нибудь ошибся)

У меня получилось так. Иногда напрягает начальные условия при t=0. Напишешь сейчас, а там нужен операторный метод