Исследовать функцию .

ChatGPT:
Функция F(x) = x^2 * √(1+x) представляет собой произведение двух функций: f(x) = x^2 и g(x) = √(1+x).
Функция f(x) = x^2 является параболой с ветвями, направленными вверх. Она равна нулю при x = 0 и имеет вершину в точке (0,0).

Функция g(x) = √(1+x) является корнем квадратным из сдвинутой вправо на единицу исходной функции y = √x. Она равна нулю при x = -1 и монотонно возрастает на всей области определения.

Таким образом, функция F(x) = f(x) * g(x) представляет собой произведение параболы и корня квадратного. Она имеет положительные значения на всей области определения и монотонно возрастает при x > -1. Функция имеет асимптоту y = x^2 при x -> -1.

Функция f(x) = x^3 + 3x + 2 является многочленом третьей степени. Она имеет положительные значения на всей области определения и является монотонно возрастающей при x > -∞. Функция не имеет вертикальных асимптот, но имеет наклонную асимптоту y = x^3 при x -> ±∞.
Для исследования функции f(x) на экстремумы и точки перегиба необходимо произвести ее дифференцирование:

f'(x) = 3x^2 + 3
f''(x) = 6x

Уравнение f'(x) = 0 имеет единственный корень x = -1, при котором функция имеет локальный минимум. Уравнение f''(x) = 0 не имеет корней, поэтому точки перегиба у функции нет.

Таким образом, функция f(x) = x^3 + 3x + 2 является монотонно возрастающей на всей области определения, имеет локальный минимум в точке (-1, 0) и наклонную асимптоту y = x^3 при x -> ±∞.