Выполнить преобразование Фурье

Так а чего тут делать-то...
1) Интеграл от экспоненты с линейным множителем. Проще всего, наверное, взять по частям. Хотя можно и по параметру дифференциаровать, и к гамма-функции свести...
s(w) = ∫ t u(t) exp(-2 t) exp(- i w t) dt = - 1 / (2 + i w)².
2) Ну а тут вообще интеграл от дельта функций:
s(t) = ∫ s(w) exp(i w t) dw / (2 п) = (2 i / п) sin(t) + (3 / п) cos(2 п t).
посмотрели бы на свойство дельта-функции:
∫δ(x - a) f(x) dx = f(a).
и сразу получили бы ответ к задаче.

4[8(w - 3) - б( + 3)]$

Для выполнения обратного преобразования Фурье необходимо сначала выразить функцию в виде интеграла:

$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$

где $F(\omega)$ – прямое преобразование Фурье функции $f(t)$.

В данном случае, чтобы выполнить обратное пребразование, нужно найти функцию $f(t)$ по её спектру:

$F(\omega) = 2[8(e^{-i\omega}-e^{i(-1)\cdot \omega})] +
3[8(e^{-i2\pi}-e^{i2\pi})+b(e^{-i(2+\epsilon)\pi}+e^{ i (2+\epsilon)\pi })]-$

$4 [8 ( e ^ { - i \cdot 3w }- e ^ { i \cdot (-3)} )- b ( e ^ {- i( + {\epsilon})) * pi }+ e ^ { (+ {\epsilon})) * pi }] $

Сокращаем и упрощаем выражение:

$ F (\ omega )=16sin(w)-24cos(w)+48cos(πω)-6bsin((ε+π)) $

Теперь можем записать формулу для нахождения f(t):

$f(t)=
\frac{1}{2π}
∫_{-\infityt o∞}
[16sin(w)-24cos(w)+48cos(πω)-6bsin((ε+π))]e^{iwt}dw$

Выполним интегрирование:

$f(t)=
\frac{1}{2\pi}
[16∫_{-\infityt o∞}sin(w)e^{iwt}dw-
24∫_{-\infityt o∞}cos(w)e^{iwt}dw+
48 ∫ _ { - \ infity to ∞ } cos ( π ω ) e ^ { i w t } d w -
6 b sin ( ε + π )
∫ _ {-\infinity to \infinity }
sin ((ε+π)) e ^ { i wt } dw]$

$f(t)=
\frac{1}{2\pi}
[16∫_{-\infty}^{\infty}sin(w)e^{iwt}dw-
24∫_{-\infty}^{\infty}cos(w)e^{iwt}dw+
48 ∫ _ { - \infinity } ^ {\infinity } cos ( π ω ) e ^ { i w t } d w -
6 b sin ( ε + π )
∫ _ {-\infinity to \infinity }
sin ((ε+π)) e ^ { i wt } dw]$

Вычислим каждый из интегралов:

$16∫_{-\infityt o∞}
sin(w)e^{iwt}=16[\frac{-cos(\omega t)}{it}]^\infity_0=8[\delta(t+1)-\delta(t-1)]$

$24∫_{-\infityt o ∞}
cos(ω)е^(іωt)dω=24[πδ(τ)+jτ^{-1}]^\infity_0=-12δ'(t)$

$48 ∮ _ {- infinity to infinity }
cos ( π ω ) е ^( і wt) dw =
96 [\frac{sin(\pi t)}{(it)^2}-\frac{\pi}{it}\delta(t)]$

$6b(sin((ε+π))) * pi)
* integral from - infinty to infinity of
sin((ε + π))e^(iw*t)dt =
-3b[sinc(ϵ/π)\cdot e^{-iϵ/2}\cdot(e^{-|w+\epsilon|\cdot i}-e^{-|w-ϵ|\cdot i})]$

Теперь можем записать окончательное выражение для функции $f(t)$:

$f(t)=\frac{1}{2π}[8δ(t+1)-8δ(t-1)+12δ'(t)+96[\frac{sin(\pi t)}{(it)^2}-\frac{\pi}{it}\delta (t)]-3b[sinc(ϵ/π)\cdot e^{-iϵ/2}\cdot(e^{-|w+\epsilon|\cdot i}-e^{-|w-\epsilon|\cdot i})]]$

За 300 млн. руб сделаю, а то за 300 руб. невозможно купить унитаз из чистого золота