В какой части Европы лучше всего отдохнуть в зимний период?

Смотря что вы имеете в виду. Если пляжный отдых то только на Канарах - Европа, но географически расположена около Африки :-) А так экскурсионный отдых хоть где в Европе.

Для меня почему-то зимний отдых ассоциируется с горными лыжами, а горные лыжи с Австрией...

Если имеются ввиду лыжи, лучше 3-х долин ничего нет. Если бюджет поджимает можно поехать в Андорру или на другие пиренейские склоны, как вариант Карпач и Закопянка в Польше или Карпаты на Украине. Можно устроить смешанный отдых в Сьерра-Неваде (Испания, Гранада, Коста Тропикаль) или Альп-Маритим (Франция, Ницца) . Там можно и кататься и проводить время на берегу тёплого (по зимним меркам моря) . То есть вверху минусовая температура и снег, а внизу у моря +16- +20. Только в Сьерра-Неваде не очень с трассами. . Их мало.
Если искать где зимой лучше чем летом. То это Греция, Италия, Португалия и Испания в смысле осмотра достопримечательностей. Летом там может быть очень жарко.
Если просто хорошее место. Прага, Краков, поморские города, Будапешт, Белград и окрестности, Стамбул и то же самое, Париж, Лондон, Эдинбург. В Скандинавии интересно, но дорого и холодно. Лично мне нравится франко-итальянский Лазурный берег.
Можно выбрать время карнавала и посетить сразу несколько. Шествия в Германии, Испании, Битву цветов в Ницце и какой-нибудь ещё в Италии (венецианский покажется волшебным, если приехать поездом в первый день часов в 5.30-6.00 на Санта-Марию) . Гарантирую, что уже к третьему карнавалу Вы заметите, что тодни и те же фрики перемещаются по всей Европе.
Если что-то особенное - Исландия.
Про пляжи вам уже написали. Я бы может добавил ещё Мадейру. Но, мне кажется, что она относится к Африке.

Традиционно зимними туристическими центрами являются страны скандинавии. Швеция, Финляндия, Норвегия. Но и в других странах Европе зимой не плохо. Особенно в рождественский период в конце декабря. Единственное, наверное в Испанию, Италию, Грецию, Болгарию зимой бы лично я не поехала бы. У меня ощущение, что это было бы что-то не то. Хотя это зависит от того, что вы ищете. В Испании и Италии например неплохие лыжные курорты есть.