можно ли поехать отдыхать за границу, если есть долг за квартиру?

Можно. Любой долг, сам по себе, не является препятствием для выезда за рубеж.
Для того, чтобы стать невыездным, надо сильно постараться. Для этого надо :
- чтобы кредитор (налоговая, коммунальщики, банк, частое лицо, кто угодно) подал на Вас в суд с требованием взыскать долг;
- чтобы суд долг признал и обязал вас его погасить в определенный срок;
- чтобы Вы это решение суда проигнорировали и в установленный срок никому ничего не заплатили; - чтобы суд передал Ваше дело в Федеральную Службу Судебных Приставов (ФССП) для того, чтобы они принудили Вас к выполнению решения суда;
- чтобы конкретный инспектор ФССП, ведущий Ваше дело, в качестве меры воздействия на Вас вынес постановление о запрете Вам покидать пределы России.
При этом сумма задолженности должна быть не менее 10т. р.

Если ничего этого не было, но переживаете сильно, можете лично сходить в Ваше местное УФССП и проверить, не выносилось ли в отношении Вас такого решения. Сайт ФССП такой информации, увы, не даёт в принципе.

Если Вас, всё же, в список невыездных внесли, то даже после уплаты всех долгов мгновенно Вас из этого списка не исключат. На это потребуется от 2 до 8 недель и никаких справок, квиточков и иных документов о том, что Вы долгов не имеете, погранслужба у Вас на паспортном контроле не примет!