На каком основании могут не пропустить через границу РФ?

Претензии судебных приставов... это самое безболезненное :) Причин может быть довольно много...

Полный и исчерпывающий перечень причин изложен в предыдущем ответе. Добавить к этому нечего, а ежели кто-то добавит или убавит, то только если вообще не в курсе дел.

Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ (ред. от 06.07.2016, с изм. от 20.10.2016) "О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию"
Статья 15

Статья 15. Право гражданина Российской Федерации на выезд из Российской Федерации может быть временно ограничено в случаях, если он:
1) при допуске к сведениям особой важности или совершенно секретным сведениям, отнесенным к государственной тайне в соответствии с законом Российской Федерации о государственной тайне, заключил трудовой договор (контракт), предполагающий временное ограничение права на выезд из Российской Федерации, при условии, что срок ограничения не может превышать пять лет со дня последнего ознакомления лица со сведениями особой важности или совершенно секретными сведениями, - до истечения срока ограничения, установленного трудовым договором (контрактом) или в соответствии с настоящим Федеральным законом.
В случае, если имеется заключение Межведомственной комиссии по защите государственной тайны о том, что сведения особой важности или совершенно секретные сведения, в которых гражданин был осведомлен на день подачи заявления о выезде из Российской Федерации, сохраняют соответствующую степень секретности, то указанный в трудовом договоре (контракте) срок ограничения права на выезд из Российской Федерации может быть продлен Межведомственной комиссией, образуемой в порядке, установленном для создания межведомственных координационных и совещательных органов, образуемых федеральными органами исполнительной власти. При этом срок ограничения права на выезд не должен превышать в общей сложности десять лет, включая срок ограничения, установленный трудовым договором (контрактом), со дня последнего ознакомления лица со сведениями особой важности или совершенно секретными сведениями;
(в ред. Федерального закона от 29.06.2004 N 58-ФЗ)
2) в соответствии с законодательством Российской Федерации призван на военную службу или направлен на альтернативную гражданскую службу, - до окончания военной службы или альтернативной гражданской службы;
3) в соответствии с уголовно-процессуальным законодательством Российской Федерации является подозреваемым либо привлечен в качестве обвиняемого, - до вынесения решения по делу или вступления в законную силу приговора суда;
(пп. 3 в ред. Федерального закона от 07.04.2010 N 60-ФЗ)
4) осужден за совершение преступления, - до отбытия (исполнения) наказания или до освобождения от наказания;
5) уклоняется от исполнения обязательств, наложенных на него судом, - до исполнения обязательств либо до достижения согласия сторонами;
6) сообщил о себе заведомо ложные сведения при оформлении документов для выезда из Российской Федерации, - до решения вопроса в срок не более одного месяца органом, оформляющим такие документы;
7) проходит государственную службу (работает) в органах федеральной службы безопасности, - до окончания срока соответствующего контракта (трудового договора);
(пп. 7 введен Федеральным законом от 18.07.2011 N 241-ФЗ)
8) признан несостоятельным (банкротом), - до вынесения арбитражным судом определения о завершении или прекращении производства по делу о несостоятельности (банкротстве), в том числе в результате утверждения арбитражным судом мирового соглашения.
(пп. 8 введен Федеральным законом от 29.06.2015 N 154-ФЗ)

Ну например, человек пытается проехать на угнанном автомобиле с пистолетом в руках и трупом в багажнике.

...и всё же я рискну дополнить ) военное положение в стране

1 вы условно осуждённые,
2 к вам применена перу пресечения в виде подписки о невыезде,
3 вы должны за кредит,
4 в отношение вас подан гражданский иск в суд,
5 у вас задолженность за квартиру, эти причины могут служить для запрета выезда из российской федерации.

Если предъявляете копии документов или есть какие либо крупные задолженности

да там куча причин может быть

Если приставы запретили, за долги и на основании решения суда, то паспортный контроль вас не выпустит. Или если вы в розыске...