а как такое возможно? Билеты на самолет куплены, а в самолет не посадили

Первый раз о таком слышу!!!

Это называется ОВЕРБУКИНГ.
Чаще всего такое явление возникает, если самолет в последний момент заменяют на менее вместительный борт (например, по техническим причинам), а все места уже проданы в расчете на больший салон. Еще одна причина – компании продают места «с запасом» на случай, если пассажиры, купившие билеты по самому дешевому тарифу, внезапно откажутся от них. Ну а если вдруг приходят все пассажиры, которые купили билеты, то кто-то оказывается без места.
В этих случаях доплатить никого не заставляют, а просто отправляют следующим рейсом.

Я бы не сказал, что много случаев, когда перед посадкой требуют доплату.
Основные причины, по которым пассажир не улетел при наличии билетов:
- нарушение правил перевозок и авиационной безопасности (пьяный, с неразрешенными к перевозке предметами, с неоплаченным сверхнормативным багажом, да и просто забывшие дома паспорт)
- нарушение визового режима (билет есть, а визы нет или просроченная, на ребенка нет нотариального согласия на выезд из страны)
- овербукинг (есть такое свинство у авиакомпаний, что они продают билетов чуть больше, чем есть мест в самолете. Тем, кто не вошел, обещают отправить следующим рейсом, но это не все себе могут позволить).
Отдельный случай, когда рейс совсем не состоялся. Из-за погоды, неисправности / неприлета борта, неоплаты туроператором чартера. Но тут все пассажиры этого рейса на равных и никакие деньги не помогут.

Бывает конечно. Например ты можешь купить билет в США, но без визы тебя в самолёт никто не пустит.
Ну или описанный выше овербукинг.

для того, чтобы посадили в самолет необходимо пройти регистрацию на рейс. Если вы не зарегистрировались на рейс, то будь у вас хоть 20 билетов, в самолет вас не пустят

Аэрофлот в последнее время оборзел с овербукингом вконец....
Да, увы. Может такое быт.
Более того, и то, что ранее считалось невозможным - зарегистрированный пассажир может остаться в аэропорту.
Мораль такова - приходите сильно заранее, чтоб не давать повода сказать, что Вы опоздали, и к выходу подходите тоже с запасом до начала посадки. Внимательно смотрите-читайте изменения выходов - сами сталкивались с таким. Пришла смс - начало посадки, выход как в посадочном, время прихода смс совпадало с временем начала посадки, указанным на посадочном. Тут же пришли к гейту. ЗАняло это полторы минуты. подошли - 5 человек стоит. В это время объявляют, что посадка на наш рейс заканчивается - но уже на другом гейте. Понеслись туда. Успели.
А вот англичанин один не успел, тоже бегая между гейтами. - эта история в интернете много шуму наделала. Вот аккурат во время ЧМ. И его не посадили - опоздал. И другим бортом не отправили - сам виноват.
И тоже Аэрофлот.

Бывает, что билетов продают больше, чем мест в самолете, рассчитвая на то, то не все явятся на посадку. За границей такое бывает.