Отдых семьей и собакой в какую страну можно без проблем отправиться?

В любую, если на собаку есть необходимые документы и сертификаты. Естественно, нужно предварительно запрашивать отель, примут ли с собакой. Если самолётом - готовьте переноску, если собака с переноской весит более 8 кг - полетит багажом.
Ну и надо понимать, что при всей любви к животным в т. н. "цивилизованных" странах привычное российское "она не кусается" не прокатывает. Даже просто за лай могут выселить из отеля. Ваша собака не должна напрягать других людей.

С собаками ездим только на наши моря, на машине. За границу слишком геморройно. Оставляем с родственниками.
Чтобы вывозить собаку за границу, нужно ее чипировать, каждый раз оформлять ветеринарные документы. Далее, если вы летите самолетом и ваша собака чуть больше кошки, ее надо сдавать в багаж в клетке, представляете, какой это стресс для животного? Не так-то просто и отель найти, куда селят с животными. А есть страны, где вообще животное держат в карантине. Короче, не мучайте собаку, оставьте ее с родственниками или на платной передержке.

В Монголию.

Собака-то какая? Йорк или дог?
Есть породы, у которых есть ограничения по перелётам. Вы готовы сдать в багажный отсек животинку?
Без проблем не получится, т. к. путешествие с животным - это всегда отдельная статья как расходов, так и лишних затрат по времени для организации поездки. Т. к. нужно обновить ветпаспорт, сделать прививки, собрать необходимые справки, купить переноску нужного размера, приехать в аэропорт заранее, пройти ветконтроль и т. п.
Кроме этого, узнать в гостинице, размещают ли там с животными, есть ли доплата за уборку, где можно выгуливать собаку на отдыхе, позаботиться о мешках для фекалий и т. п.
В принципе, в любых странах путешествуют с животными. У меня сестра, например, летает с йорком - привыкли уже.

Завели собаку, сидите дома. Или по очереди.

В Корею

собака Вас не поймёт. (не берите её с собой)

Смотря с какой собакой. С мастифом врят ли куда то пустят)

Отправиться можно абсолютно в любую страну, главное следовать правилам при оформлении документов. Что конкретно может понадобиться Вам в поездке, можете узнать в статье блога Ostrovok.ru: https://blog.ostrovok.ru/v-puteshestvie-s-pitomcem-chast-pervaya/