Когда человек перешел через границу, его сим-карта будет действовать до какого момента?

у мобильных операторов заключены между собой договоры о сотрудничестве, условно говоря. То есть, предположим, у компании Х в другой стране берет на себя обслуживание её абонентов компания тамошняя Y. И, когда Вы пересекаете границу, сим-карта у Вас работать продолжает, просто теперь Ваши звонки, интернет и тд будет предоставлять та самая, заграничная компании Y.
Это и есть роуминг. Иногда это происходит автоматически - и чаще всего, иногда есть возможность выбрать самостоятельно оператора связи - это реже.
В любом случае, отправляясь куда-то из страны, стоит заранее выяснить что, как и почем будет со связью там, куда собрались. И может быт, проще и дешевле будет купить симку той страны, где будете.

Если нет роуминга, то в пределах досягаемости сети. Это может быть 15-20 км от границы, если вышка вашего оператора у самой границы.

Если у него не отключен международный роуминг, то будет действовать по всему миру, где есть покрытие сотовой сети.

Вблизи границы бывают казусы, когда телефон автоматически подключается к сети соседней страны.

Как только исчезнет сигнал "родного" оператора. Иногда для этого даже границу пересекать не нужно.

По опыту проезда через Торфяновку (РФ-Финляндия).
Значок МТС пропал метров на 20 до пограничного столба. Vodafon появился также метрах в 20 на финской стороне.
Возможно там стоят антенны не с круговым, а с секторным действием. Вышел за пределы сектора и все, сети нет.

В других местах зоны действия сетей из разных стран могут накладываться. Так на станции Чертково (РФ) сигнал Киевстара явно мощнее, и трубка быстро переключается на украинскую сеть.

Ваша карта может действовать там, куда сигнал доходит. Если, например, ехать в Израиле вдоль Мертвого моря, то там постоянно будут цепляться разные операторы - Саудовская Аравия, Израиль, Египет, Иордания. Даже если Вы едете в пределах одной страны. К тому же, Вам правильно написали, есть договоры между операторами разных стран и Ваш телефон просто перейдет в зону ответственности другого, местного оператора. Но с географической границей страны это не связано никак. Новый оператор может включиться даже раньше, если зацепил Ваш телефон.

Чаще на границе пропадает связь если не оплачен международный тариф

Ничего не пропадает. По многим странам ездила - связь была. В отеле по всякому у ресепшин или бассейна есть вацап.

бросьте отцу пару штук на баланс - роуминг и появится

Если не подключен роуминг, то в районе границы пропадает. Плюс-минус сотни метров.

От конкретной границы зависит и насколько близко к ней расположены передающие вышки домашних операторов. Когда телефон вне из зоны, тогда и пропадает. Четко на самой границе это не случается, сигнал граница не останавливает)))
Чаще всего чуть дальше. Может быть и немного раньше.