Обязательно ли возвращаться по путёвке?

можешь вообще там остаться навсегда

Можете, турпакет - это не тюрьма.
Но:
1) Пропадает уже оплаченный вами в составе турпакета обратный билет. Если он на регулярный рейс, то ещё можно обменять его с доплатой, если чартер - то пропадает.
2) Вопрос размещения на дополнительные дни вам предстоит решать самостоятельно. Ваш номер в гостинице/санатории/пансионате на эти дни, скорее всего, уже забронирован под других туристов.
3) Предупредите представителя турфирмы, чтобы вас не искали.

Не обязательно, можно докупить дни еще в каком-нибудь отеле (или даже в том же самом) - но сдвигать рейс возвращения может не получиться - иногда идут навстречу, иногда нет. Возможно (и даже очень вероятно), этот билет пропадет, придется покупать новый. И обратите внимание на срок туристического пребывания в стране, часто это всего лишь месяц (а бывает, и две недели).

На твое усмотрение - ищи заранее жилье и покупай новый билет. Если тариф позволяет, билет можно обменять (при наличии мест) с доплатой.

Если в стоимость путевки входит только проживание и питание в отеле, то конечно вы можете остаться и жить сколько захотите там еще в другом месте например, а если в путевку входит и проезд (перелет или другой вид транспорта), то вы конечно тоже можете остаться, но тогда вам придется дополнительно оплачивать проезд домой в дату, когда вы пожелаете вернуться.

Если в своей стране, хоть жить там оставайтесь.
За рубежом вы станете нелегалом.

Не обязательно конечно. но дальнейшее пребывание там, будет оплачено уже вами лично

Деньги есть - делай что хочешь

Нет, но так однозначно будет выгоднее, потому что все уже проплачено а деньги за обратную дорогу вам не вернут