Какая кактигория прав нужна на квадроцикл ?

Квадроциклы приравнены к спецтехнике (самоходное транспортное средство) . Правом управления квадроциклом обладают только те водители, которые в официальном порядке прошли процедуру получения удостоверения тракториста-машиниста категории А в соответствующем отделении Гостехнадзора. Эти же права дают право управления снегоходом.
Обучение вождению квадроцикла осуществляют специализированные школы, аттестованные Гостехнадзором. Подлежат обязательной регистрации в Гостехнадзоре.
Правила допуска к управлению самоходными машинами и выдачи удостоверений тракториста-машиниста (тракториста) http://www.avtogai.ru/kvadro.html
"Изменения правил получения удостоверений тракториста-машиниста с 13 ноября 2011 года".
http://pddmaster.ru/documentsnews/udostoverenie-traktorista-mashinista-novye-kategorii-s-13-dekabrya-2011-goda.html

категории "А" наверн

тракторные "А"

нах на него права, если на дорогу выезжать нельзя?

тракторные

Удостоверение тракториста-раз, регистрация через Ростехнадзор-два. По Российскому законодательству-это снегоболотоход.

Если есть ПСМ (именно паспорт самоходной машины, а не ПТС) на квадр, то нужны права тракториста-машиниста категории А1. Получить их можно в Гостехнадзоре с 16 лет!
Если ПСМ нет, а есть документ, который подтверждает, что данный квадроцикл является спортинвентарем, то права не нужны. Но и передвигаться на таком квадре можно только по треку или на специально подготовленной трассе/территории, т. к. даже при езде по лесам Вас могут остановить сотрудники Гостехнадзора и потребовать (на законных основаниях) документы на технику. Если их нет - штрафстоянка.
По поводу вод. удостоверений ссылка на сайт Госуслуг, раздел Гостехнадзора - http://sgtn.mos.ru/about/category-tractor/

Квадроцикл приравнивается к спецтехнике, так что в обычной автошколе не научат.
Более подробно о прохождении курсов и получении прав в https://права-на-спецтехнику.рф.

100% тракторные, в автосалоне спрашивала.