может ли житель, например, Эстонии, написать доверенность на свой а/м на гражданина России?

Хитрые все!

Нет, поэтому по России ездят иностранцы с кавказа с прибалтийскими номерами.

Нет.
На вопрос почему идите на сайт таможни.

Порядок временного ввоза транспортных средств физическими лицами на территорию ТС, в том числе порядок их таможенного оформления, определяется статьей 387 ТК ТС и Соглашением стран ТС о порядке перемещения физическими лицами товаров для личного пользования через таможенную границу ТС.
Временно ввозить на таможенную территорию РФ и ТС автомобили могут:
иностранные физические лица - без уплаты таможенных пошлин, налогов автомобили, зарегистрированные в иностранном государстве, на срок своего временного пребывания, но не более чем на 1 год и при условии, что в течение этого срока такое транспортное средство не будет использоваться для производственной или иной коммерческой деятельности, отчуждаться, передаваться в пользование, владение либо распоряжение другим лицам
физические лица, являющиеся гражданами стран – членов ТС, при условии, что эти транспортные средства зарегистрированы на территории иностранного государства и общий срок временного ввоза не превышает 6 месяцев в течение 1 календарного года в отношении каждого временно ввезенного автомобиля, при условии обеспечения уплаты таможенных пошлин, налогов в соответствии с таможенным законодательством Таможенного союза
В этом случае размер таможенного обеспечения равен сумме таможенной пошлины на ввозимый автомобиль. Таможенное обеспечение вносится при пересечении границы таможенного союза и возвращается при вывозе автомобиля с таможенной территории ТС.
Использование временно ввезенных автомобилей для осуществления производственной или иной коммерческой деятельности, отчуждение, передача в пользование, владение либо распоряжение другому лицу, допускаются с разрешения таможенного органа при условии уплаты таможенных пошлин и налогов.

я бы уже давно на таком ездил, если бы....)) )