Как выглядит письменное разрешение родителей на владение транспортным средством?

Можете. Собственником ТС может стать хоть младенец. Согласно ГК РФ:
"Статья 26. Дееспособность несовершеннолетних в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет
1. Несовершеннолетние в возрасте от четырнадцати до восемнадцати лет совершают сделки, за исключением названных в пункте 2 настоящей статьи, с письменного согласия своих законных представителей - родителей, усыновителей или попечителя.
Сделка, совершенная таким несовершеннолетним, действительна также при ее последующем письменном одобрении его родителями, усыновителями или попечителем. "
И согласно Приказу № 1001 "О порядке регистрации ТС" (прил. 2 Административный регламент) :
"7. Несовершеннолетний в возрасте от 14 до 18 лет может подать заявление на совершение регистрационных действий с транспортными средствами с письменного согласия своих законных представителей - родителей, усыновителей или попечителей (за исключением случаев объявления несовершеннолетнего полностью дееспособным (эмансипация) или его вступления в брак в порядке, установленном законодательством Российской Федерации). "
По сути вопроса - письменное разрешение составляется в свободной форме. Возможно, будет достаточно подписи родителей на заявлении на постановку на учет - уточните в своем МРЭО.

Не бывает такого. Вам, уже, есть 18 лет.

Когда мне не было 18 лет, я занималась мотоспортом.
У меня была лицензия на которой в обязательном порядке стояла подпись родителей (кроме всего прочего).

Не бывает такого. Есть рукописная доверенность установленной формы

как банальная ДОВЕРЕННОСТЬ