Нужно ли снимать с учета при продаже? Регион не меняется.

Это по желанию продавца. Регион значения не имеет. Продавать на номерах можно и покупателю из другого региона. Вопрос в том, готов ли прежний владелец к тому, что, к примеру, покупатель не будет своевременно ставить авто на учет на свое имя? Ведь по базе ГАИ и налоговой машина будет висеть на нем, пока не снята с учета с его имени. Для собственного спокойствия все же лучше продавать авто, сняв с учета.

Интересней получить свежие номера.

Можно, но не обязательно - на ваш выбор (если номера хотите оставить себе для новой машины - вот тогда снимать обязательно) .

Важно также знать, что:
1. 1-у копию договора нужно оставить себе.
2. если вы не знаете тонкостей рассмативаемого типа сделок, то т/с лучше передавать покупателю посредством заключения договора комиссии.
3. Доход от продажи в рамках одного календарного года движимого имущества, стоимость которого не превышает 250 000р. в РФ налогом не облагается, а если имущество находилось в вашей собственности более трёх лет - не облагается в не зависимости от стоимости такого имущества (есть ещё ряд значимых налоговых нюансов, но о них долго писать).. .
4. Копию ПТС с записью в нём о новом собственнике также желательно оставить себе.
5. Действующий полис ОСАГО можно переоформить на нового собственника, а можно возвратить страховщику и получить остаток средств за незавершившийся период использования т/с, однако, в первом случае полис переоформляется без потерь, а во втором - удерживается 23%.

При постановке на учет новым собственником авто автоматически снимается с учета с прежнего собственника.

Я считаю, что особых проблем не будет. Ведь при сделке составляется договор купли-продажи. И если новый хозяин, например, на следующий день после сделки совершит ДТП, скроется с места происшествия, то у старого хозяина всегда есть доказательство, что это не он скрылся с места происшествия, что машина продана вчера по договору купли-продажи. Таким же макаром в случаях нарушений ПДД, налогов за машину и т. п. можно доказать, что машины уже нет.
Я лично купил машину на номерах, оформил на себя через 4 дня после покупки и всё в норме. Я доволен тем, что мне не пришлось ещё за номера 2 тыс. платить.

Не обязательно. Можно и с номерами продавать.