Нужно ли снимать автомобиль с учета, и если не нужно, то как проходит процедура купли-продажи?

По желанию. Можете снять, можете по новым правилам не снимать. Оформляете договор купли-продажи, вносите изменения в ПТС о новом владельце, меняетесь - Вам деньги, Вы авто и документы. Далее все действия проводит уже покупатель как новый владелец авто. И неважно, оставляет он прежние номера или нет. При постановке на учет с прежнего учета авто снимается автоматически.
"6. ..Изменение регистрационных данных о собственнике по совершенным сделкам, направленным на отчуждение в отношении зарегистрированных транспортных средств, осуществляется на основании заявления нового собственника, при условии его регистрации на территории того же субъекта Российской Федерации, что и прежний собственник. (абзац введен Приказом МВД РФ от 20.01.2011 N 28)
24.5. Регистрация транспортных средств по совершенным сделкам, направленным на отчуждение в отношении зарегистрированных транспортных средств, производится по заявлению нового собственника по месту его жительства. Снятие с учета осуществляется без обращения нового собственника по месту прежней регистрации транспортного средства. "

Теперь уже не нужно.

старый хозя снимае, ты ставишь, вот и вя процедура, если по доверенности то налоги будут приходить старому хозяину

составляется договор купли/продажи. все документы на машину отдаются новому владельцу и всё... но это только при том условии, что у него останутся ваши номера. далее он в 5-дневный срок переоформляет её на себя (не переплачивая за номера) . и всё. я свою машуну так продавала