Поясните доходчиво об оформлении.

Человек с кем ты заключаешь договор купли продажи должен быть последнем владельцем в ПТС. Точка.
Если это не так то ты покупаешь авто не у собственника, а у васи который скажет что тебя не видал и не знает.
Точка.

В ПТС собственник вписывается собственноручно.
Пришел ты к продавцу, все проверил и паспорт и ПТС и прочее, составили ДКП, подписали, деньги отдал, Впсал себя в ПТС, теперь ты собственник.
На основании ДКП и после записи в ПТС ты становишься собственником, никак иначе.
Не обязательно это делать в ГАИ, хотя желательно, если тачка переоформится на тебя и встанет на учет в ГАИ, а тогда уже деньги отдавать.
Обрати внимание что вписываться в ПТС можно только на основании ДКП, это значит что ты в праве потребовать посмотреть ДКП предыдущего владельца, на основании которого тот стал владельцем и вписан в ПТС, если ДКП нет, он жет быть не правомерным якобы владельцем...

Если чайник в подборе и оформлении, заключи договор с автоподбором или автоюристом, ктоторый будет присутствовать при подборе или заключении договора и прочем, 3-5 рублей за правильно оформленный ДКП и прочие прелести уверен стоит отдать, не стоит считать себя самым умным, а то окажешься самым глупым с нелеквидом только что купленным...

При покупке ставьте продавцу условие - расчёт только после успешной постановки на учёт на Ваше имя в МРЭО ГИБДД! Если есть ДКП от собственника, указанного в ПТС на этого человека +ДКП от него -Вам (итого - ДВА ДКП) - на учёт поставят без проблем.
Претензии при покупке Б/У авто Вы в любом случае предъявить никому не сможете !
Смотрите сразу внимательно тех. состояние и пробивайте на юридическую чистоту - больше никаких гарантий.