Какая живность у этого святого ?

Вообще-то там должен быть голубь, но птица явно имеет соколиные черты, скорее всего самка Falco candicans, groenlandicus, поскольку сокольничие кречетом называли самку, а самец кречета звался «кречатьим челигом» или «чегликом» .

О птичках
Кстати, как говорится, "о птичках"... Если уж говорить о покровительстве Трифона охотникам, - то святые помогают всем, кто с Верой. А Чудеса творят не своей властью, а Господней. Поэтому "украсть" у одного покуда другой не дает - никак не получится. Отсюда - кому молиться - совершенно без разницы, главное - с Верой. Потому и в икону Собор святых покровителей охотников и рыболовов в 2005 году вписали много кого, с первого взгляда за прямых покровителей и неугадываемого. По Вере, братья, по Вере. И по немощи. В одного кто не верует, ну хоть в кого-то поверует.. . Может быть.
И уж если говорить конкретно о Трифоне, то:
Историк Охоты Александр Каледин, а также, ныне покойный, бывший бессменный главный редактор старейшего в России журнала об Охоте, альманаха "Охотничьи Просторы", господин Королев, упокой Господь его Душу, прекрасно зная настоящую историю Русской иконы святого Трифона, вполне справедливо полагали что единственное отношение которое имеет Святой Трифон к Охоте, - заключается в том, что мучимый гонителями, он был выволочен за конем на охоту, где его и травили охотничьими собаками и на нем упражнялись в стрельбе сами охотники. А в соответствии с православной традицией, от коих гонителей принял смерть, тем и покровительствует, так как молится за мучителей своих.
Именно поэтому Церковь старается дистанцироваться от разного рода "конных икон", "сокольничьих образов", "охотничьих мотивах", и прочей ерунды. Именно поэтому настоящая иконопись - это византийский образ молодого юноши, стоящего с крестом в руке. Типом римлянин, молод, около 23 лет, пастырь гусей при озере, с пробивающейся бородкой, в рубашке немного пониже колен, сверху епанча с куколем, как носили пастухи; одежда грубая, босой, лицом худощав, волосы кудреваты. В руке хартия… В правой руке у него можно писать и сокола по совершенному им чуду в Москве,... Но лучше голубя. И не в правой. И не вместо Креста. И о соколе напомнит, и ошибки не будет, и Креста не заменит.
"Пастырь гусей при озере" с крестом и Духом Святым, - что вам еще нужно-то, маловеры? Овощи, овощи.. .

Это кречет Андраган. ( царские птицы имели свои имена) подробнее читать

Птица русских палестин.

Это Святой Трифон с соколом.

Московское предание о Трифоне и сокольничем
Народное московское предание говорит о том, что некогда государев сокольничий во время охоты в селе Напрудном упустил любимого царского сокола, чем вызвал гнев государя. Сокольничему было приказано в 3 дня сыскать сокола, иначе он должен был заплатить за него головой. Сокольничий, потратив 3 дня и вконец устав, горячо молился своему небесному покровителю мученику Трифону, а затем уснул на берегу Великого пруда. Во сне сокольничему явился Трифон с соколом на руке. Проснувшись, сокольничий неподалёку от себя увидел сокола, и вернув его государю, был спасён, а на том самом месте, где явился Трифон, поставил обетную церковь.
Народное предание нашло отражение в романе А. К. Толстого «Князь Серебряный» .

В византийской иконографии изображается молодым юношей, стоящим с крестом в руке. В русской традиции также часто изображается с соколом в руке, стоя или на коне.