Если я в отпуске вдруг заболела, значит, пропал отпуск?

Ст. 124 ТК РФ в случае временной нетрудоспособности работника ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен или перенесен на другой срок, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЙ РАБОТОДАТЕЛЕМ с учетом пожеланий работника

Т. е. исходя из статьи ТК РФ, заявление на продление или перенос отпуска надо писать в обязательном порядке, "автоматически" ни чего не делается. Продление или перенос отпуска должны быть оформлены приказом. На каком основании работодатель должен издать приказ? Только на основании заявления! Да, пожелания работника в данном случае должны учитываться, но последнее слово всё равно остается за работодателем. Может у него нет возможности сразу продлить вам отпуск. А если вы просто не выйдете на работу, самовольно продлив себе отпуск на кол-во дней б/листа, вас совершенно законно могут уволить за прогул.

Никаких заявлений писать не не надо. Отпуск автоматически продливается на дни больничного, но с условием что это был оплачиваемый отпуск .

Если в плане ПРОВЕДЕНИЯ отпуска, то да. Чего ж тут хорошего!
А в отношении общего количества дней - нет.

после больничного пишите заявление: прошу продлить отпуск в связи с больничным во время отпуска на (укажите кол-о дней, ск-ко были на больничном)

если взять больничное то отпуск не пропадет, а продолжится

Нужно обязательно взять больничный. А по окончании отпуска сообщить на работе, что была на больничном и написать заявление о продлении отпуска. А можно перенести оставшиеся дни отпуска на другое время. Все это делается по согласованию с начальством. Но в любом случае отпуск не пропадает.