Как грамотно уволиться с работы, без месячной отработки и чтобы начальство в трудовую косяков не написали?

Во-первых, ищите ЛЮБОЕ нарушение со стороны работодателя в отношении вас. А потом - вы типа нарушили, давайте я закрою на это глаза в обмен на увольнение без отработки. А во-вторых, вы РЕАЛЬНО, в смысле не "одна бабушка сказала", знаете хоть один случай, когда чела не взяли на работу именно из-за записи в трудовой книжке? Так вот, процент таких случаев близок к нулю, поверьте старой тете с 20 годами стажа. Если человек хороший спец, не зарывается, то его возьмут на работу в любом случае - ну разве что могут спросить, что у него на предыдущей случилось. Начальники и кадровики - отнюдь не дебилы и прекрасно знают, как иногда людей увольняют с работы и по каким причинам. Так что побольше уверенности в глазах и в голосе - и удачи вам!

Нет такого понятия отработка. Вы должны предупредить работодателя об увольнении за ДВЕ НЕДЕЛИ! (ст. 80ТК) За это время вам подготовят расчёт и найдут замену.
Это время как бы не обязательно находиться на рабочем месте. Это может быть отпуск или больничный.
Ну и если работодатель не против - может уволить сразу.

Во время отпуска.

пишешь заявление на отпуск и в последний рабочий день пишешь заявление на увольнение
по закону заявление на увольнение надо написать за две недели до увольнения
потом идешь в отпуск, после отпуска приходишь за трудовой и расчетом

2 недели вроде надо отрабатывать, а в nтьрудовую книжку вроде не записывают по какой причине уволили.

Можно конечно и через отпуск. Но в ТК есть такой пункт, где можно не отрабатывать. Армия, пенсия и по третьим причинам. Я так увольнялся. Сегодня уволился, завтра на новое место устроился.