Я что на побегушках?) дайте совет со стороны пожалуйста. Обязана ли бегать по его работе в другие кабинеты?

Он предлагал секс?)

Вы можете проявить уважение типа: Иван Иванович, я иду в кабинет главного технолога, могу занести и ваши письма.....И всё, и на этом ваше уважение закончилось. У вас своя работа, и не создавайте у коллег стойкого впечатления, что вы не загружены по своей должности.

так и говори, я занята, я сосредоточена на работе и не хочу отвлекаться. я же не ваш личный почтальон, в конце концов

Дайте уже ему

многое зависит от того на каких условиях Вас брали на работу. Причем Вам возможно известно не все. То что говорили Вам, по условиям, и то что озвучивалось коллегам может не совпадать. Хотя возможно и просто эксплуатация (дедовщина) на рабочем месте...
Тут надо плавно переводить такие "чужие дела" в плоскость отложенного исполнения.
Сначала говорить, что отнесете чуть позже, из-за какой-либо важной работы сейчас, затем создайте ситуации избирательной забывчивости, когда Вы "забыли" отнести, пусть раз 5-10 напомнит Вам... Когда поймет, что это не работает как кнопка, нажал и письмо полетело, будет думать и относится по другому к отправке писем...

В ваших условиях, я бы не отказывал ему, ведь он Вам нужен, но постепенно, придумывая незначительные отмазки, перестал бы выполнять не Вашу работу )

Скажите ему, что если бы хотели носить письма, устроились бы на почту. И что решили ноги беречь смолоду. В старости очень пригодятся.