Приближенное решение задачи Коши для

Искать приближенные решения, разумеется, можно разными способами. Например, можно искать интегрируемое в квадратурах дифференциальное уравнение, решения которого аппроксимируют решения исходного. Такое уравнение указать, как правило, все-таки трудно. Поэтому можно попытаться искать более простое уравнение, аппроксимирующее решения исходного (см. по этому поводу, в частности, очерки Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной, Принцип усреднения и Теория возмущений) .

Для отыскания приближенного решения можно воспользоваться также методом последовательных приближений, заменив в нем интеграл (вовсе не обязательно берущийся) какой-либо квадратурной формулой (возможность такой замены требует, конечно, обоснования) . Но поскольку этот метод требует большого объема вычислительной работы (на каждой итерации приходится неоднократно вычислять значения правой части уравнения) , он играет, в основном, теоретическую роль — например, он полезен при доказательстве теоремы Коши — Пикара или при доказательстве дифференцируемости оператора сдвига.

Можно также пытаться раскладывать искомое решение в степенные или тригонометрические ряды (например, в ряды Тейлора или Фурье) . Уравнения на коэффициенты этих рядов получаются из исходного дифференциального уравнения. Эти методы требуют, как правило, большого объема аналитической плохо алгоритмизируемой работы. Например, для нахождения коэффициентов ряда Тейлора решения нужно вычислять производные высоких порядков от правой части уравнения. В силу этого разложения решений в такие ряды пока мало пригодны для практического использования на ЭВМ. Правда, в последнее время появились эффективные пакеты программ для символьных преобразований на ЭВМ; возможно они окажутся полезными в этом направлении.

В настоящее время наиболее универсальными и эффективными методами приближенного решения дифференциальных уравнений являются так называемые конечно-разностные) их еще называют разностными или сеточными) методы