wifi Роутер может раскидывать интернет, при условии что он подключен ТОЛЬКО к кабелю интернета ?

Нет. Он еще к сети питания ( 220в, к примеру, через адаптер, или на акумах бывают) должен быть подключен.

Да, можно и нужно.

большинство современных роутеров работают в режиме точки доступа wifi.

для того он и сделан (грубо говоря)

Wi-fi роутер - это устройство, предназначенное для раздачи (передачи) интернет траффика по портам LAN и Wi-fi радиоимпульсом. Интернет траффик поставляется из разьёма типа Ethernet, в который вставлен кабель интернет-провайдера. Вот и получается, в "коробочку" входит интернет, и "коробочка" раздаёт по всему, чему умеет этот интернет - по проводам и через радиосигнал (он же Wi-fi). Поэтому и нужен тот самый интернет кабель на вход (обычно на роутерах называется такой порт INTERNET)