Если я написал заявление за свой счет и заболел, оплатят ли мне больничный?

К Вашему сожалению, за тот период, что приходится на отпуск за свой счет, нет однозначно. Если болели дольше - честно говорю не помню. Есть какие-то ньюансы.

Да оплатят. Но с того момента как был открыт больничный

Увы - нет. Больничный оплатят только со дня окончания отпуска (который без сохранения з/платы) . Если бы вы заболели в очередном отпуске - тогда да.
Статья 9 Федерального закона от 29.12.2006 N 255-ФЗ "Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством" определены периоды, за которые пособие по временной нетрудоспособности не назначается застрахованному лицу за следующие периоды:
за период освобождения работника от работы с полным или частичным сохранением заработной платы или без оплаты в соответствии с законодательством Российской Федерации, за исключением случаев утраты трудоспособности работником вследствие заболевания или травмы в период ежегодного оплачиваемого отпуска;
за период отстранения от работы в соответствии с законодательством Российской Федерации, если за этот период не начисляется заработная плата;
за период заключения под стражу или административного ареста;
за период проведения судебно-медицинской экспертизы.

Попробуйте на дни, совпадающие с б/листом, отозвать с отпуска