тождества из векторного анализа, помогите доказать, или ткините носом в книгу где написаны доказателства

Прямое вычисление и сравнение по координатам возможно,
но громоздко.
Имеется красивый аппарат "набла-исчисления", см.
Бронштейн и Семендяев, Справочник по математике .

Кратко так: вводится векторный дифференциальный оператор
"набла" (треугольник вершиной вниз) . Обозначим его Y.
Его координаты: частные производные d/dx, d/dy, d/dz.
Его свойства: Yf(x,y,z)=grad f(x,y,z);
скалярное произведение Y*A(x,y,z)=div A(x,y,z);
векторное произведение [Y,A(x,y,z))]=rot A(x,y,z).
Выражение Y*[A,B] рассматривается как смешанное
произведение, причем Y будет действовать и как вектор,
и как дифференцирование, поэтому получится ДВА слагаемых.
Подробности в Справочнике.