что такое свидетельство о государственной регистрации на квартиру?

Это то, что надо делать первым после покупки квартиры.
Заригистрировать ее в реестре собственности и получить свидетельство о собственности.
Иначе могут еще кому продать хату ( теоретически)

Та самая "зеленка".

Это называется "свидетельство о государственной регистрации права" после получения права собственности на кватиру (покупка, наследство и т. д) его необходимо зарегистрировать в ЕГРП (Единый государственный реестр прав на недвижимое имущество и сделок с ним) .