при сдаче в наем квартиры нужна ли копия свидетельства о государственной регистрации? и можно ли ее оставлять арендатору

А зачем арендатору Ваше свидетельство? Вы его показываете перед заключением соглашения, но никаких свидетельств оставлять не должны.

я бы не давала даже копию документа.

Ничего арендатору не давайте! В договоре аренды укажите паспортные данные сторон договора и условия договора.

если товарищ сомневается - может за 200 рублей взять справку в росреестре, кто собственник квартиры

Реквизиты паспорта и свидетельства должны быть в договоре. Оставлять ли копию свидетельства - решайте сами, закон вас к этому не обязывает, а нанимателю эта копия как козе баян.