вредны ли для фигуры протертые ягоды с сахаром

Так ведь телу совершенно все равно, какой сахар вы едите: белый, коричневый, мед, фрукты-ягоды, в смысле химическая формула сахара - та же самая. Другое дело - во фруктах-ягодах есть еще витамины и минеральные вещества и, разумеется, разный % сахара, а в сахаре ничего кроме углеводов нет. И как все уже переработанные продукты, он быстрее превращается в жир.
Так что только один закон сохранения массы тела (желаемой) : чем больше сладкого, тем больше движения. Вот и все.