lim x=0 (cosx-cos3x)/(1-sqrt(1-x^2)) вот это надо как-то к 1-му замечательному. Лопиталя не принимают (

Question

lim x=>0 (cosx-cos3x)/(1-sqrt(1-x^2)) вот это надо как-то к 1-му замечательному. Лопиталя не принимают (

Андрей Носырев · Accepted Answer

числитель надо разложить как разность косинусов и умножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю: 
lim x=>0 (-2sin(-x)*sin(2x))*(1+sqrt(1+x^2)) / ( (1+sqrt(1-x^2))*(1+sqrt(1+x^2)) ) = 
= lim x=>0 (1+sqrt(1+x^2)) * lim x=>0 (2sin x * sin 2x ) / (1-1+x^2) = 
= 2* lim x=>0 (2sin x / x) * lim x=>0 ( sin 2x / x ) = 2* 2*lim x=>0 (sin x / x) * lim x=>0 (2sin 2x / 2x ) = 
= 2*2*1*2* lim x=>0 (2sin 2x / 2x ) = 8*1 = 8/ 
Дважды использован первый замечательный предел lim x=>0 ( sin 2x / x ) = 1.

Юля · Answer

переписать числитель - косинус три икс = 4*cos^3 x - 3cosx. В числителе будет после разных преобразований 4 cos x( 1-cos^2x) = 4*cos x* sin^2x Вот, синус в ислителе для первого замеательного уже есть. Теперь в знаменателе надо выделить икс квадрат, и пр.