Скажите, а в Москве заявление на регистрацию договора дарения доли квартиры принимает только отдел на Зеленом проспекте?

нет. на зеленом раньше чаще всего занимались приватизацией.

смотря где находится квартира

В каждом административном округе Москвы имеется свой отдел регистрации недвижимости Росреестра (ФСГРКК)