Имеют ли право заставить меня получить загранпаспорт?

Вероятнее всего вам оформляют служебный загранпаспорт, который при увольнении из ВС РФ вы сдадите. Если обычный - отказаться можете, но последствия будут неприятными. . У военнослужащих прав меньше чем у рабов...

Присяга обязывает жить по уставу.

Некоторые воинские части Российской армии дислоцированы на территориях других государств или на территории Калининградской области, где все военнослужащие должны иметь заграничный паспорт для удостоверения личности при пересечении границы. Это является не прихотью командования, а требованием международных соглашений. Вероятно Вы либо служите в одной из таких воинских частей, либо Вашу воинскую часть предполагается передислоцировать.

Конституция РФ
Статья 15

4. Общепризнанные принципы и нормы международного права и международные договоры Российской Федерации являются составной частью ее правовой системы. Если международным договором Российской Федерации установлены иные правила, чем предусмотренные законом, то применяются правила международного договора.

ноу