может директор школы запретить отмечать выпускной 9 классов в кафе?

Вы можете отмечать выпускной, впрочем как и любой другой праздник, где угодно, но директор не даст разрешения на официальное проведение мероприятия от имени школы где-либо, кроме, например, школы. Он отвечает за безопасность.

Если захочет - может. Только вот зачем это ему? Почему бы не отметить в кафе?

он может запретить отмечать выпускной в столовой школы, а в кафе это уже не его территория

Он может запретить проводить скушную часть торжества с раздачей грамот и т. д. а просто празновать запретить не может.

нет, если это культурное мероприятие (без спиртных напитков)

К сожалению, может ( Хотя это не разумно, но что же делать.. . Для любого выхода с классом (будь то лес, поездка куда-либо, а тем более выпускной!!! ) должна быть подписана директором бумага. Вы, конечно, можете обмануть. Но учитель вряд ли пойдет на это - так как на кону стоит зарплата/премия, а если директор очень строгий - то и работа. Постарайтесь найти оптимальный вариант - чтобы в кафе не продавали алкоголь. Скорее всего именно поэтому директор против.