Разложить в ряд Маклорена ln((2+x^2)/(1-x))

Question

Пытаюсь разложить, выходит ln(2) + x а дальше чушь, вторая производная равна нулю в x=0, если так, то дальше считать не нужно, и ln(2) + x и есть ряд для моей ф-ии?

Анна · Accepted Answer

ln((2+x^2) / (1-x)) = ln(2+x^2) - ln(1-x) 
для ln(1-x) разложение можешь посмотреть в учебнике. 
посмотрим на ln(2+x^2). 
производная 2x / (2+x^2) 
раскладываем ее в ряд Маклорена. 
2x / (2+x^2) = x / (1+(x/sqrt(2))^2) = x * sum_(n=0)^inf (-1)^n x^(2n) / 2^n 
чтобы найти разложение ln(2+x^2) проинтегрируем ряд. 
==> ln(2+x^2) = sum_(n=0)^inf (-1)^n * x^(2n+2) / (2^n * (2n+2)) +ln(2) 
 
Итого разложение ln((2+x^2)/(1-x)) имеет вид 
sum_(n=1)^inf (-1)^(n-1) * x^(2n) / (2^(n-1) * 2n) +sum_(n=1)^inf x^n / n + ln(2) 
 
по теореме Абеля ряд будет сходится в интервале (-1;1)