обследует ли гинеколог при месячных?

конечно нет, лучше до

Только при необходимости.

если есть необходимость

да
но в идеале если нет спешки в обследовании, лучше подождать окончания месячных

при месячных - обследует только психиатр

Обследует
Тут дело не в "приятности",а во врачебной ответственности. Некоторые и не такое обследуют)
Например, патологоанатомы.