Подсчет погрешности.

Question

Рассуждения (чисто логические) : 
Тело прошло расстояние в 100±5 метров за 50±2 секунд (мерили мы очень грубо, погрешности велики) . 
Как известно V=S/t 
То есть V~S и V~(1/t) 
И может ведь так случиться что S будет равно 105 метров, а время 48 секунд, то есть это будет максимально возможная скорость при принятых погрешностях S и t. 
И наоборот, минимально возможная скорость будет при расстоянии в 95 метров и 52 секундах. 
Тогда погрешность скорости можно вычислить как (Vmax - Vmin) / 2 
Собственно вопрос: почему это не верно?

Надин Бирюкова · Accepted Answer

Это неверно хотя бы потому, что Вы хотите описать погрешность интервалом, а в этом интервале стат. веса скоростей распределяются не равномерно, а убывают при отдалении от среднего. 
 
Грубо говоря, если постулируется погрешность в виде интервала, то этот интервал дается как доверительный с определенной вероятностью попадания. 
 
А погрешность тут проще рассчитать как сумму относительных погрешностей расстояния и времени 
 
В денном случае по времени 4%, по расстоянию 5%, итого 9%. Если средняя скорость 2 м/c, то с учетом погрешности это будет (2.00+/-0.18)м/c

Михаил Мартынов · Answer

Ошибка именно в попытке описать погрешность конечным интервалом. S=100±5 м вовсе не означает, что измерение расстояния покажет максимально 105 метров, а минимально - 95. Предполагается, что разброс измерений имеет гауссово распределение, а интервал ±5м всего лишь характеризует ширину пика. Да, большинство измерений попадут в этот интервал, но некоторые могут оказаться и за его пределами (хотя вероятность такого мала) . 
 
Следует также отметить, что предложенная Бабайкой формула простого сложения относительных погрешностей в случае гауссового распределения (случайные ошибки дают именно такое распределение) неоправданно завышает погрешность скорости. Точнее, при той же доверительной вероятности относительная погрешность для скорости будет равна квадратному корню из суммы квадратов относительных погрешностей расстояния и времени: 
 
∆V/V = sqrt((∆S/S)^2 + (∆t/t)^2) 
 
В нашем случае это чуть более 6%